VWO – WisA – Redeneren met behulp van de afgeleide – SV

Redeneren met behulp van de afgeleide

Wat leer je in deze samenvatting?

  • Geen grafiek of tabel van de basisfunctie
  • Geen getallenvoorbeelden
  • Eigenschappen van de afgeleide
  • Voorbeeld

Als je moet redeneren ligt het vaak voor de hand dat je hierbij je grafische rekenmachine wilt gebruiken of een schets wilt maken van de grafiek, maar dat mag juist niet bij het onderwerp redeneren. Het gaat bij dit onderwerp erom dat je kunt uitleggen wat er gebeurd met een functie als deze gedifferentieerd wordt en dat je dit kunt beschrijven zonder schets.

Machtsfunctie differentiëren

Hoe zat het ook alweer?

Buiten deze basisregel zijn er nog 3 andere toepassingen hiervan.

  • Somregel 
  • Productregel 
  • Quotiëntregel 

Helling van de raaklijn

Hellingsgrafiek, hoe zat het ook alweer?
De rode grafiek hieronder heeft de volgende formule:

Er kan bijvoorbeeld worden gevraagd de naar de rc van de hellingsgrafiek in x=2.

Dit bereken je door eerst de afgeleide te berekenen van de formule en vervolgens 2 op de plek van x in te vullen in de afgeleide formule en het antwoord hiervan is de richtingscoëfficiënt (helling) van de raaklijn.

De de helling in x=2 is gelijk aan 0,57 .

Nog een voorbeeld, dit keer wordt er gevraagd wat de helling is bij x=10. De hellingsgrafiek is voor de duidelijkheid al afgebeeld.

Opnieuw betekent dit dat je eerst de afgeleide te berekent van de formule en vervolgens op de plek van x 10 moet invullen in de afgeleide formule en het antwoord hiervan is de richtingscoëfficiënt (helling) van de raaklijn.

De helling in x=10 is gelijk aan -0,30 .

Wil je een uitlegvideo zien oefenopgave maken vraag stellen over dit onderwerp?

Redeneren zonder getallenvoorbeelden

Als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn groter is dan 0, dan betekent dit dat de grafiek op dat punt stijgend is. Dit kan toenemend of afnemend stijgend zijn.
 
Als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn kleiner is dan 0, dan betekent dit dat de grafiek op dat punt dalend is. Dit kan toenemend of afnemend dalend zijn.

Hellingsgrafiek

Dus als de afgeleide 0 is dan heb je de extreme waarde.

Voorbeeld

De hoeveelheid van een bepaalde populatie wordt aangegeven met de formule:

Beredeneer aan de hand van de afgeleide of de of de hoeveelheid stijgend of dalend is in de eerste 30 dagen en geef aan welke vorm van stijgen of dalen.

Antwoord: Omdat er staat beredeneer mag je geen grafiek gebruiken om te kijken of hij stijgt of daalt in de eerste dertig dagen. Daarom moet je de functie eerst differentiëren.

Als je naar de hellingsgrafiek kijkt zie je dat deze bij alle dagen boven de t-as zit. Dit betekent dat de grafiek elke dag stijgt. Er is dus sprake van stijging.

Conclusie:
  • In de hellingsgrafiek liggen alle waarden boven de t-as, dus is de hoeveelheid stijgend gedurende de eerste 30 dagen.
  • Eerst is de hellingsgrafiek dalend (tot ongeveer 8 dagen) en daarna stijgend. Dus de populatie is eerst afnemend stijgend en vanaf de 8e of 9e dag toenemend stijgend.

Wil je een video zien over dit onderwerp?

>