VWO – WisA – Differentiëren 1 – SV

Differentiëren 1

Wat leer je in deze samenvatting?

  • Rekenregels bij differentiëren
  • Som- en verschil regel
  • Productregel
  • Quotiëntregel
  • Toepassingen

Machtsfunctie differentiëren

De basisregel van differentiëren:

Het getal van de macht vermenigvuldig je met het getal dat voor de x staat, vervolgens doe je de macht min 1. Vergeet nooit het accent rechts naast de f te schrijven als je een functie differentieert. f(x) is de gewone functie en f ‘ (x) is de afgeleide functie.

Naast de rekenregel staat een voorbeeld. Hier nog een paar voorbeelden om mee te oefenen:

  •  
  •  

Bij deze tweede functie zie je dat je na het differentiëren, de functie ook moet vereenvoudigen.

  •  

Bij deze derde functie zie je dat het verduidelijkt is doordat er een 1 in de macht is geplaatst, deze is normaal namelijk weg gelaten en hoeft niet worden opgeschreven. Alles tot de macht 0 is 1. dus x tot de macht 0 ook. Dus eigenlijk staat er 3 keer 1 en dat mag je natuurlijk opschrijven als 3.

  •  
Bij deze vierde functie zie je dat de afgeleide functie uiteindelijk vereenvoudigt is. Dit is doordat er vaak op een toets gevraagd wordt of je het eindantwoord zonder negatief of gebroken exponent kunt opschrijven.
Als dit de snel gaat kun je kijken naar de samenvatting en/of video over machten.

Machtsfunctie maken

Het is ook mogelijk dat er wordt gevraagd of je een gebroken functie of een wortel functie kunt differentiëren. Om dit te doen moet je er eerst een machtsfunctie van maken en daarna is het heel gemakkelijk te doen met de rekenregels van net.

Hier twee voorbeelden:

  •  
  •  

Wil je een uitlegvideo zien oefenopgave maken vraag stellen over dit onderwerp?

Somregel en verschilregel

Som betekent plus en verschil betekent min. Daarom is de somregel de rekenregel van het differentiëren van een functie waar plus in staat. En logischerwijs is dan de verschilregel de rekenregel van het differentiëren van een functie waar min in staat.

Functie g plus functie h is functie f. Dus de afgeleide functie van f is de afgeleide functie van g plus de afgeleide functie van h.

Functie g min functie h is functie i. Dus de afgeleide functie van i is de afgeleide functie van g min de afgeleide functie van h.

Hier een aantal voorbeelden van de som- en verschilregel:

  •  
  •  
  •  

Bij het derde voorbeeld zie je dat de +8 wegvalt, als je een functie differentieert vervalt de constante (het getal zonder x in de functie). Dit komt doordat er eigenlijk x tot de macht 0 staat en 0 keer 8 is 0 dus daarom vervalt zo’n losstaand getal.

Productregel

Een product is de uitkomst na vermenigvuldiging. Dus daarom is de productregel de rekenregel bij het differentiëren van een functie waar keer in staat.
De productregel is iets ingewikkelder dan bijvoorbeeld de som- en verschilregel.

Hier een eenvoudig voorbeeld:

Quotiëntregel

De quotiëntregel is de regel die je gebruikt bij het differentiëren als twee functies door elkaar gedeeld worden.
Deze regel is het meest complex en daarom is er ook een veel gebruikt ezelsbruggetje bij deze regel.

Wat hier eigenlijk staat is: “(noemer keer de afgeleide van de teller, min teller keer de afgeleide van de noemer) gedeeld door de noemer in het kwadraat”.

Voorbeelden:

  •  
  •  

Hellingsgrafiek

In de vorige les is hellingsgrafiek al aan bod gekomen maar wat daar nog niet werd verteld is dat de hellingsgrafiek van een grafiek de afgeleide functie is.

De lineaire grafiek bovenaan kan worden gedifferentieerd en de uitkomst zal de hellingsgrafiek zijn.

De parabool bovenaan kan worden gedifferentieerd en de uitkomst zal de hellingsgrafiek zijn.

De vierde machtsgrafiek kan worden gedifferentieerd en de uitkomst zal de hellingsgrafiek zijn. Je ziet dat alle punten waar de derde machtsgrafiek door de x-as gaat, toppen zijn van de vierde machtsgrafiek.

Toepassingen

Bij dit deel van de samenvatting wordt laten zien hoe verschillende vragen over dit onderwerp in een toets gesteld zouden kunnen worden.

Er kan bijvoorbeeld gevraagd worden om een functie te differentiëren of dat er wordt gevraagd:
  • wat is de afgeleide van deze functie? Dit is de zelfde vraag.
Bijvoorbeeld:
  • Vervolgens kan er gevraagd worden deze twee grafieken te plotten in je grafische rekenmachine. Hierbij vul je de functies in via het knopje linksboven “y=”.
  • Bereken de richtingscoëfficiënt (hellingsgetal) van de raaklijn in de functie f(x) bij x=-3,5
  • Bij welke x zit de rechter top van de functie f(x)?
  • Bij welke positieve x stijgt f(x) (dus de normale grafiek) het snelst?

Wil je een video zien over dit onderwerp?

>