Verandering en hellingsgrafiek

Wat leer je in deze samenvatting?

• Wat een hellingsgrafiek is
• Welke toenamediagram bij welke grafiek hoort
• Hoe je een differentiequotiënt berekent
• Hoe een hellingsgrafiek ontstaat

Stijgen en dalen

Deze grafiek hieronder bestaat eigenlijk uit 6 delen. Er zijn vier mogelijke soorten in zo’n grafiek.

toenemend stijgend ( T.S )

afnemend stijgend ( A.S )

afnemend dalend ( A.D )

De punten waar een daling overgaat in een stijging of een stijging overgaat in een daling noemen we toppen.

De punten waar een toename overgaat in een afname of een afname overgaat in een toename noemen we buigpunten.

Buiten een toename of een afname van een grafiek bestaan er ook lineaire grafieken met een constante stijging of een constante daling.

Toenamediagram

Een toenamediagram is een raster waarin je aangeeft hoeveel een grafiek is gestegen in een bepaald punt (in een bepaalde x-waarde).

Deze informatie is te halen uit een tabel.

Bijvoorbeeld deze tabel:

Bij x=0 is y=1. Vervolgens Bij x=1 is de y-waarde 2 hoger, want de nieuwe y-waarde is 3. Bij x=2 is de y-waarde 1 gestegen ten opzichte van de vorige y-waarde. Dit moet je voor elke x weten. Dit noemen we delta y en is te zien in de volgende tabel.

Als je deze delta y waarden gaat invullen in het raster, krijg je een toenamediagram.

Deze punten zijn aangegeven als een soort luciferstokjes.

Toenamediagram bij een grafiek

Aan elke toenamediagram is te zien bij wat voor soort grafiek deze hoort. Als je dit voor het eerst ziet, lijkt het verwarrend, maar als je er even over nadenkt is het heel logisch.

Bij de volgende toenamediagram zie je dat de grafiek eerst met 3 afneemt, daarna met 2 en vervolgens tot een punt komt waar er niks toeneemt of afneemt. Vervolgens neemt de grafiek steeds meer toe. Daarom hoort deze toenamediagram bij een dal parabool.

Bij de volgende toenamediagram is te zien dat de grafiek eerst toeneemt. Deze toename wordt steeds kleiner wat betekent dat dit gaat om een afnemende stijging. Daarna begint de grafiek steeds meer af te nemen, wat een toenemende daling betekent. Daarom hoort deze toenamediagram bij een berg parabool.

Bij de volgende toenamediagram zie je dat de grafiek eerst met 3 daalt. Vervolgens is de toename nul wat betekent dat er een top is. Daarna stijgt de grafiek met 2 en vervolgens met 3, dit betekent een toenemende stijging. Daarna stijgt de grafiek met 2 wat ervoor zorgt dat de stijging afneemt. Daarna ontstaat weer een top en een daling van 3.

Bij de volgende toename diagram zie je dat de grafiek eerst met 3 stijgt. Vervolgens is de toename nul wat betekent dat er een top is. Daarna daalt de grafiek met 2 en vervolgens met 3, dit betekent een toenemende daling. Daarna daalt de grafiek met 2 wat ervoor zorgt dat de daling afneemt. Daarna ontstaat weer een top en een stijging van 3.

Bij de volgende toenamediagram zie je dat bij elke x-waarde de toename het zelfde is. Dit betekent een constante stijging (van een lineair verband).

Bij de volgende toenamediagram zie je dat bij elke x-waarde de afname het zelfde is. Dit betekent een constante daling (van een lineair verband).

Differentiequotiënt

Differentiequotiënt betekent de gemiddelde stijging in een bepaald punt. Je kunt je wel voorstellen dat de grafiek in A minder hard stijgt dan in punt B. Zoals je hebt geleerd spreken we hier van een toenemend stijgende grafiek.

Bij het differentiequotiënt wil je berekenen wat de gemiddelde stijging in een bepaald punt is. Een makkelijk voorbeeld om te kijken hoe dit werkt is de berekening van de gemiddelde stijging tussen punt A en punt B. Hierbij doen we even alsof er een rechte lijn tussen deze twee punten zit. Eerst moet je de coördinaten van A en B berekenen voordat je de richtingscoëfficiënt kunt berekenen. De richtingscoëfficiënt van deze lijn is de gemiddelde stijging.

De gemiddelde snelheid (differentiequotiënt) tussen punt A en B is dus ongeveer 1,4 .

Als je deze punten A en B wat dichter bij elkaar neemt, kun je je voorstellen dat je duidelijker kunt benaderen hoe stijl de grafiek op een bepaald punt stijgt. De lijn tussen de nieuwe punten is dus ook minder ver van de grafiek verwijderd.

Om dit voor je te zien zijn er op de volgende afbeelding twee nieuwe punten, maar dan dichter naar elkaar toe.

De gemiddelde snelheid (differentiequotiënt) tussen punt A en B is dus ongeveer 1,0 .

Als je de punten nog dichter bij elkaar neemt, dan zou je kunnen zeggen dat doordat de punten zo dicht bij elkaar zijn het eigenlijk één punt wordt. Als je dit doet bereken je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. De raaklijn is de lijn die langs de grafiek loopt en de grafiek nooit snijdt. Hij tikt de grafiek als het ware op één punt (bijna) aan.

Bij het volgende voorbeeld moet je wel twee punten kiezen omdat je anders geen richtingscoëfficiënt kunt vinden. Voor A wordt x=1 gekozen en voor B=1,0001 .

De gemiddelde snelheid (differentiequotiënt) tussen punt A en B is dus ongeveer 0,94 .

Je kunt ook de twee punten wat verder op de lijn plaatsen. Dit zal ervoor zorgen dat je een steilere helling krijgt.

De gemiddelde snelheid (differentiequotiënt) tussen punt A en B is dus ongeveer 3.

Je kunt dit ook andersom doen. Als je de grafiek hebt getekend en je gaat de raaklijn tekenen in een punt, dan kan je twee punten op die raaklijn aangeven. Neem ze dan ver uit elkaar want zo is het differentiequotiënt duidelijker te berekenen.

Hellingsgrafiek Aan het begin van de samenvatting heb je geleerd wat een toename diagram is, waarbij de staafjes aangeven wat de helling in een bepaald punt is. Bij een hellingsgrafiek zijn er geen staafjes, maar loopt er een grafiek of een lijn door de punten heen. Hier zijn een aantal voorbeelden van. De verhoudingen van het assenstelsel zijn aangepast om het concept beter te kunnen laten zien. Bij het eerste voorbeeld zie je dat de toename constant is wat betekent dat we met een lineaire grafiek te maken hebben.

Bij het tweede voorbeeld zie je dat de hellingsgrafiek eerst onder 0 is en daarna één keer met de x-as snijd, wat betekent dat daar een top ligt. Vervolgens neemt de stijging steeds harder toe wat betekent dat dit de hellingsgrafiek van een parabool is.

Bij het derde voorbeeld zie je dat de hellingsgrafiek drie keer de x-as snijd, dit betekent dat de grafiek waaruit de hellingsgrafiek is ontstaan drie toppen heeft.